LWP | Excel数式で学ぶ再帰処理

LWP TECHNICAL ARTICLE | 159

記事要約

Excelの数式は、セルの値を計算するだけのものではありません。LETとLAMBDAを組み合わせ、現在位置と途中結果を引数として受け渡すと、VBAの1重ループや2重ループに相当する処理を、1つの数式として組み立てられます。

本記事では、階乗による最小の再帰から始め、名前定義を使う方法と使わない方法、LETを先頭に置く書き方とLAMBDAを先頭に置く書き方、配列を走査する1重ループ、行と列を分けて考える2重ループまでを段階的に説明します。完成式を暗記するのではなく、「終了条件」「状態の変化」「再呼び出し」「途中結果の蓄積」を自分で設計できることが到達点です。

本記事の対象とゴール

想定読者

• LETとLAMBDAの基本は分かるが、再帰数式の読み方が分からない人

• VBAのループ処理を、Excel数式の状態遷移として理解したい人

• 1セルで完結する高度な動的配列数式を、構造から設計したい人

本記事で得られること

1. 再帰を成立させる終了条件・状態変化・再呼び出しを見分けられます。

2. F(F,5)やSelf(Self,n-1)で関数自身を渡す理由を説明できます。

3. 1重ループと2重ループを、位置と途中結果を持つ状態遷移として設計できます。

4. MAP、MAKEARRAY、REDUCE、SCANと再帰LAMBDAの使い分けを判断できます。

目次

• はじめに　Excel数式でも再帰処理を書ける

• 第1章　再帰処理の基本

• 1.1　再帰とは何か

• 1.2　再帰を成立させる三つの要素

• 1.3　数式における再帰

• 1.4　再帰と循環参照の違い

• 1.5　階乗による最小例

• 第2章　Excel数式で再帰関数を作る方法

• 2.1　LAMBDAとLETの役割

• 2.2　名前定義を使用する再帰

• 2.3　名前定義を使用しない再帰

• 2.4　Fを2回指定する理由

• 2.5　LETを先頭に置く書き方

• 2.6　LAMBDAを先頭に置く書き方

• 2.7　二つの書き方の使い分け

• 第3章　再帰による1重ループ

• 第4章　再帰による2重ループ

• 第5章　再帰を使う場面と使わない場面

• まとめ　数式で再帰を書くための設計手順

はじめに　Excel数式でも再帰処理を書ける

0.1　本資料の目的

Excelで処理を繰り返すと聞くと、VBAのFor文やDo文を思い浮かべる人が多いでしょう。しかし、現在のExcelでは、LAMBDAによって数式の中に関数を定義できます。その関数から同じ関数を再び呼び出せば、数式だけで再帰処理を構築できます。

再帰とは、単に同じ処理を何度も実行することではありません。現在の状態を引数として受け取り、次の状態を作り、終了条件に達するまで同じ処理へ渡し続ける考え方です。

本資料では、次の3段階を扱います。

単純な再帰

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

数値を1ずつ減らしながら、自分自身を呼び出します。

1重ループ

I1:I3のa、b、cを順番に処理し、aa、bb、ccを返します。

2重ループ

I1:J3の各セルを行方向・列方向に処理し、元と同じ形の2次元配列を返します。

この変換だけならMAPで簡単に書けます。ここで再帰を使うのは、値を2回連結するためではなく、数式内で現在位置と途中結果を管理し、1重・2重の走査処理を組み立てる方法を理解するためです。

0.2　本資料で使用する主な関数

第1章　再帰処理の基本

1.1　再帰とは何か

再帰とは、ある処理が、その処理の中から同じ処理を再び呼び出す構造です。

たとえば、5の階乗は次のように分解できます。

5の階乗 = 5 × 4の階乗

4の階乗 = 4 × 3の階乗

3の階乗 = 3 × 2の階乗

処理対象の数値は変わりますが、「現在の数値を掛け、1小さい数値で同じ処理を行う」という形は変わりません。大きな問題を少し小さな同型の問題へ分解し、同じ処理へ渡しているわけです。

1.2　再帰を成立させる三つの要素

再帰には、必ず次の三つが必要です。

終了条件

どの状態になったら、自分自身を呼び出すのをやめるかを決めます。階乗では、n<=1になったら1を返します。

IF(n<=1,1,継続処理)

状態の変化

次の呼び出しでは、現在とは異なる状態を渡します。階乗ではn-1です。

5 → 4 → 3 → 2 → 1

状態が終了条件へ近づかなければ、処理は停止しません。

自分自身の再呼び出し

状態を変えたうえで、同じ処理をもう一度実行します。名前の付いた関数なら、概念的には次の形です。

FACT(n-1)

名前定義を使わない方法では、後で説明するSelfを使います。

Self(Self,n-1)

再帰数式を読むときは、まず「終了条件」「変化する状態」「再呼び出し」の三つを探します。

1.3　数式における再帰

LAMBDAを使うと、Excel数式の中に引数を取る処理を定義できます。

=LAMBDA(x,x*2)(5)

この式は、xを受け取ってx*2を返すLAMBDAを定義し、末尾の(5)で直ちに実行しています。結果は10です。

基本構造は次のとおりです。

LAMBDA(引数,処理)(実際に渡す値)

数式での再帰は、このLAMBDAの処理の中から同じLAMBDAを再び呼び出すことです。

1.4　再帰と循環参照の違い

再帰とセルの循環参照は異なります。

A1セルに=A1+1と入力すると、A1がA1自身を参照する循環参照になります。一方、本資料の再帰は、セルを自分自身へ戻すのではありません。セル内のLAMBDAが、引数を変えて同じLAMBDAを呼び出します。

循環参照

セルA → セルA

再帰LAMBDA

F(5) → F(4) → F(3) → F(2) → F(1)

再帰では、各呼び出しの状態が変化し、終了条件に達すると値が確定します。

1.5　階乗による最小の再帰例

5の階乗は次のように展開されます。

F(5)

= 5 × F(4)

= 5 × 4 × F(3)

= 5 × 4 × 3 × F(2)

= 5 × 4 × 3 × 2 × F(1)

= 120

呼び出しは5から1へ進み、F(1)=1が確定すると、結果が逆方向へ戻ります。

F(1)=1

F(2)=2×1=2

F(3)=3×2=6

F(4)=4×6=24

F(5)=5×24=120

数式の中心部分は次の形です。

IF(

    n<=1,

    1,

    n*再帰呼び出し

)

第2章　Excel数式で再帰関数を作る方法

2.1　LAMBDAとLETの役割

LAMBDAは、引数と処理内容を定義します。

LAMBDA(x,y,x+y)

その場で実行する場合は、末尾に値を渡します。

=LAMBDA(x,y,x+y)(3,4)

LETは、数式の途中に名前を付けます。

=LET(

    x,10,

    y,20,

    x+y

)

LETでは、数値だけでなくLAMBDAにも名前を付けられます。

=LET(

    Twice,LAMBDA(x,x*2),

    Twice(5)

)

この性質を使って、数式内に再帰関数を定義します。

2.2　名前定義を使用する再帰

再帰を最も自然に書けるのは、名前の管理で関数名を定義する方法です。

名前をFACTとし、参照範囲へ次の式を登録します。

=LAMBDA(n,

    IF(

        n<=1,

        1,

        n*FACT(n-1)

    )

)

セルからは、通常の関数と同じように呼び出します。

=FACT(5)

自分自身の名前FACTを直接呼び出せるため、再帰の意味が読み取りやすい書き方です。また、ブック内の複数セルから再利用できます。

一方、関数本体は名前の管理にあり、セルの数式だけを見ても処理内容が分かりません。数式だけを別ブックへ移す場合も、名前定義を別途扱う必要があります。

2.3　名前定義を使用しない再帰

1セルだけで完結させる場合は、関数自身を引数として渡します。

=LET(

    F,LAMBDA(Self,n,

        IF(

            n<=1,

            1,

            n*Self(Self,n-1)

        )

    ),

    F(F,5)

)

Selfは予約語ではありません。関数自身を受け取る引数として付けた名前です。

Fは二つの引数を取ります。

Self：再帰関数自身

n：現在処理している数値

名前定義を使わない方法は数式が長くなりますが、1セルで完結し、数式をそのままコピーできます。本資料では、数式内部の仕組みを明示するため、この方法を中心に扱います。

2.4　Fを2回指定する理由

最も分かりにくいのが、次の呼び出しです。

F(F,5)

FはLAMBDA(Self,n,処理)として定義されています。したがって、引数の対応は次のとおりです。

F      ( F,    5 )

↑        ↑     ↑

実行     Self  n

1番目のFは実行する関数です。括弧内の2番目のFは、Selfへ渡す関数自身です。

内部の再帰呼び出しは次の形です。

Self(Self,n-1)

最初の呼び出しではSelf=F、n=5なので、実際にはF(F,4)になります。

F(F,5)

→ F(F,4)

→ F(F,3)

→ F(F,2)

→ F(F,1)

関数自身を毎回次の呼び出しへ渡すことで、名前定義がなくても再帰を継続できます。

2.5　LETを先頭に置く書き方

名前定義を使わない再帰の基本形です。

=LET(

    F,LAMBDA(Self,n,

        IF(

            n<=1,

            1,

            n*Self(Self,n-1)

        )

    ),

    F(F,5)

)

この式は、次の順番で読みます。

1. LETを開始する

2. 再帰関数Fを定義する

3. F(F,5)で処理を開始する

LETの最後の引数が数式全体の結果です。複数の補助関数や入力範囲を定義する1重・2重ループでは、この書き方が特に読みやすくなります。

2.6　LAMBDAを先頭に置く書き方

数式全体を、引数を受け取るLAMBDAとして包むこともできます。

=LAMBDA(a_x,

    LET(

        F,LAMBDA(Self,n,

            IF(

                n<=1,

                1,

                n*Self(Self,n-1)

            )

        ),

        F(F,a_x)

    )

)(5)

外側の構造は次のとおりです。

LAMBDA(a_x,内部処理)(5)

末尾の(5)が外側の引数a_xへ渡され、内部でF(F,a_x)が実行されます。セルの値を渡すこともできます。

=LAMBDA(a_x,

    LET(

        F,LAMBDA(Self,n,

            IF(n<=1,1,n*Self(Self,n-1))

        ),

        F(F,a_x)

    )

)(G1)

外側のLAMBDAは再帰していません。数式全体の入力を受け取り、内部の再帰関数へ渡す入口です。

2.7　二つの書き方の使い分け

内部の再帰原理は同じです。本資料の1重・2重ループでは、構造を見やすくするためLETを先頭に置きます。

第3章　再帰による1重ループ

3.1　再帰をループとして使う考え方

階乗ではnを1ずつ減らしました。配列を上から下へ処理する場合は、行番号rを1ずつ増やします。

配列処理では、行番号だけでなく、それまでに作成した結果も次の呼び出しへ渡します。

3.2　ループで保持する状態

1重ループでは、次の三つを引数にします。

LAMBDA(Self,r,z,処理)

一般的なループのカウンターに相当するのがr、結果を蓄積する変数に相当するのがzです。

ただし、Excel数式では同じ変数を書き換えません。新しい行番号と新しい結果を、次の呼び出しへ渡します。

Self(Self,r+1,VSTACK(z,新しい値))

3.3　1重ループの数式

I1:I3にa、b、cがあるとします。各値を2回連結する数式は次のとおりです。

=LET(

    a,I1:I3,

    WalkRows,

    LAMBDA(Self,r,z,

        IF(

            r>ROWS(a),

            z,

            LET(

                x,INDEX(a,r),

                Self(

                    Self,

                    r+1,

                    VSTACK(z,x&x)

                )

            )

        )

    ),

    WalkRows(

        WalkRows,

        2,

        INDEX(a,1)&INDEX(a,1)

    )

)

最初に入力範囲へaという名前を付け、再帰関数WalkRowsを定義しています。最後のWalkRows(...)が最初の呼び出しです。

3.4　結果を蓄積する変数z

再帰呼び出しの中心は次の部分です。

Self(

    Self,

    r+1,

    VSTACK(z,x&x)

)

• Self：関数自身を次へ渡す

• r+1：次の行へ進む

• VSTACK(z,x&x)：新しい値を結果の下へ追加する

1行目は初期値として先に処理し、2行目から再帰を始めています。

WalkRows(WalkRows,2,INDEX(a,1)&INDEX(a,1))

初期状態は次のとおりです。

r = 2

z = aa

この方法により、先頭へダミーの空白値を置かずに、正しい形の配列へ値を追加できます。

3.5　1重ループの実行追跡

r=4になると、次の条件が成立します。

r>ROWS(a)

元配列は3行なので、完成したzを返します。

aa

bb

cc

第4章　再帰による2重ループ

4.1　2重ループの全体構造

2次元の範囲を処理するには、行方向と列方向の両方を移動します。

1行目：1列目 → 2列目

2行目：1列目 → 2列目

3行目：1列目 → 2列目

本資料では、処理を次の三つへ分けます。

WalkRows

    └─ MakeRow

           └─ WalkCols

すべてを一つの関数へ詰め込まず、列方向・1行の生成・行方向に役割を分けることが重要です。

4.2　列方向を処理するWalkCols

WalkCols,

LAMBDA(Self,r,c,z,

    IF(

        c>COLUMNS(a),

        z,

        LET(

            x,INDEX(a,r,c),

            Self(

                Self,

                r,

                c+1,

                HSTACK(z,x&x)

            )

        )

    )

)

引数の意味は次のとおりです。

列方向の処理中、rは固定され、cだけが増加します。

r = 1のまま

c = 2 → 3 → 4 ...

現在のセルはINDEX(a,r,c)で取得します。加工結果はHSTACKで右側へ追加します。

HSTACK(z,x&x)

cが列数を超えたら、その行は完成しているためzを返します。

4.3　1行を作成するMakeRow

MakeRow,

LAMBDA(r,

    LET(

        x,INDEX(a,r,1),

        WalkCols(

            WalkCols,

            r,

            2,

            x&x

        )

    )

)

MakeRowは再帰関数ではありません。指定された行の1列目を初期値にし、2列目からWalkColsを開始する入口です。

1列目を先に処理

↓

2列目からWalkColsを開始

↓

完成した1行を返す

1行目がaと1なら、MakeRow(1)は次の行を返します。

aa    11

4.4　行方向を処理するWalkRows

WalkRows,

LAMBDA(Self,r,z,

    IF(

        r>ROWS(a),

        z,

        Self(

            Self,

            r+1,

            VSTACK(z,MakeRow(r))

        )

    )

)

WalkRowsは、現在の行をMakeRow(r)で完成させ、VSTACKで結果の下へ追加します。

行番号が元配列の行数を超えたら、完成したzを返します。

4.5　1行目・1列目を初期値にする理由

列方向では、1列目を初期値にして2列目から始めます。

WalkCols(WalkCols,r,2,x&x)

行方向では、1行目を初期値にして2行目から始めます。

WalkRows(WalkRows,2,MakeRow(1))

これにより、HSTACKとVSTACKの追加先へ最初から正しい形の配列を渡せます。先頭にダミー値を置いて後から取り除く必要がありません。

4.6　2重ループの完成式

I1:J3の各セルを2回連結する完成式は次のとおりです。

=LET(

    a,I1:J3,

    WalkCols,

    LAMBDA(Self,r,c,z,

        IF(

            c>COLUMNS(a),

            z,

            LET(

                x,INDEX(a,r,c),

                Self(

                    Self,

                    r,

                    c+1,

                    HSTACK(z,x&x)

                )

            )

        )

    ),

    MakeRow,

    LAMBDA(r,

        LET(

            x,INDEX(a,r,1),

            WalkCols(

                WalkCols,

                r,

                2,

                x&x

            )

        )

    ),

    WalkRows,

    LAMBDA(Self,r,z,

        IF(

            r>ROWS(a),

            z,

            Self(

                Self,

                r+1,

                VSTACK(z,MakeRow(r))

            )

        )

    ),

    WalkRows(

        WalkRows,

        2,

        MakeRow(1)

    )

)

長い数式は、上から1文字ずつ読むのではなく、次の順序で確認します。

1. 入力範囲a

2. 列方向のWalkCols

3. 1行を作るMakeRow

4. 行方向のWalkRows

5. 最初の呼び出し

4.7　2重ループの実行順序

全体の実行順序は次のとおりです。

MakeRow(1)

  └─ WalkColsで1行目を完成

WalkRowsのr=2

  └─ MakeRow(2)

       └─ WalkColsで2行目を完成

  └─ VSTACKで追加

WalkRowsのr=3

  └─ MakeRow(3)

       └─ WalkColsで3行目を完成

  └─ VSTACKで追加

WalkRowsのr=4

  └─ 行数を超えたため終了

結果の変化は次のとおりです。

内側のWalkColsが1行を最後まで完成させ、その戻り値を外側のWalkRowsが縦へ積み重ねます。これが数式による2重ループの基本構造です。

第5章　再帰を使う場面と使わない場面

5.1　再帰が適する処理

再帰が有効なのは、単に繰り返し回数がある場合ではなく、状態や終了条件を自分で制御したい場合です。

• 条件を満たした時点で終了する

• 前回の結果によって次の処理が変わる

• 処理済みの結果を次へ引き継ぐ

• 行と列で異なる状態を管理する

• 独自の順序で配列や階層をたどる

再帰の強みは、現在の状態を引数として明示し、そこから次の状態を作れることです。

5.2　既存関数を優先する処理

単純な配列処理では、専用関数のほうが簡潔です。

今回の各セルを2回連結する処理だけなら、MAPで書けます。

=MAP(I1:J3,LAMBDA(x,x&x))

行番号と列番号から配列を作るなら、MAKEARRAYも使えます。

=MAKEARRAY(

    ROWS(I1:J3),

    COLUMNS(I1:J3),

    LAMBDA(r,c,INDEX(I1:J3,r,c)&INDEX(I1:J3,r,c))

)

「再帰で書ける」ことと「再帰で書くべき」ことは別です。実務では、目的を満たす最も短く、保守しやすい方法を選びます。

5.3　再帰を使用する際の注意点

終了条件がなければ処理は停止しません。終了条件があっても、状態がその条件へ近づかなければ同じです。

また、再帰呼び出しが多すぎると、Excelは#NUM!を返す場合があります。大量データでは、MAPなどの配列関数、Power Query、VBAも検討します。

長い再帰数式では、次の工夫が重要です。

• LETで処理対象と補助関数に名前を付ける

• 役割ごとにLAMBDAを分ける

• 引数名の意味を統一する

• 改行とインデントを整える

• 状態の変化を表で確認する

1セルで完結させる教材や検証では、名前定義なしの方法が便利です。ブック内で繰り返し使う実務関数なら、名前の管理へ登録したほうが呼び出し側は簡潔になります。

Excel LabsのAdvanced Formula Environmentは、長い数式の編集や整形を補助します。ただし、再帰処理そのものはExcelのLAMBDA、LET、動的配列関数によって実行されています。

まとめ　数式で再帰を書くための設計手順

Excel数式で再帰を書くときは、完成式を一気に書かず、次の順序で設計します。

1　処理対象を決める

数値を1つ処理する

1行を処理する

1列を処理する

1セルを処理する

2　終了条件を決める

n<=1

r>ROWS(a)

c>COLUMNS(a)

3　現在の状態を引数にする

Self：関数自身

n：現在の数値

r：現在の行

c：現在の列

z：途中結果

4　次の状態を作る

n-1

r+1

c+1

VSTACK(z,新しい行)

HSTACK(z,新しい値)

Excel数式では、同じ変数を書き換えるのではなく、新しい状態を次の呼び出しへ渡します。

5　関数自身を渡す

名前定義を使わない場合は、最初の呼び出しで関数自身をSelfへ渡します。

F(F,5)

内部の再帰呼び出しでも、Selfを次へ渡します。

Self(Self,n-1)

6　初期状態から処理を開始する

F(F,5)

配列処理では、最初の要素や最初の行を初期結果として使えます。

WalkRows(WalkRows,2,MakeRow(1))

1重ループは、一つの方向へ状態を動かします。2重ループでは、「1行を完成させる列方向の処理」と「完成した行を積み重ねる行方向の処理」を組み合わせます。

WalkCols：列を進める

MakeRow：1行を完成させる

WalkRows：行を進める

数式による再帰の本質は、特殊な記法ではありません。

終了条件を決める

現在の状態を引数にする

次の状態を作る

同じ関数を再度呼び出す

途中結果を次へ渡す

この構造をLAMBDAとLETで表現すれば、Excel数式だけでも再帰処理、1重ループ、2重ループを構築できます。

参考資料

• Microsoft Support「LAMBDA function」

• Microsoft Support「LET function」

• Microsoft Support「HSTACK function」

• Microsoft Support「VSTACK function」

• Microsoft Support「MAP function」

• Microsoft Excel Labs「Advanced Formula Environment」

出典メモ

本記事は、ほえほえ提供のMarkdown原稿「Excel数式で学ぶ再帰処理_15ページ本文完成版.md」を基礎に、LWP公開記事として見出し階層、導入、対象読者、到達点、Word組版を整えたものです。Excel関数の参照先として、本文末尾に記載したMicrosoft Supportの各関数ページおよびMicrosoft Excel Labsを挙げています。

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